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Lecture 1 迴圈與物件控制

建國高中特色選修課程 - 物理現象的程式設計與模擬
作者：曾靖夫
日期：2018/7/1

一、Vpython的物件插入

Vpython為Python程式的外掛套件之一，Vpython的優點是有很多視覺化套件可以使用簡單的指令插入，它的繪圖功能簡單，呈現的效果具體。很適合將物理中的方程式透過python的運算，然後用圖像的方式顯現出來，能幫助同學更具體理解物理觀念與現象。

1. sphere（球形物件）：

ball = sphere(pos=vector(1,2,1), radius=0.5, color=color.blue)

  • 指令說明
    ball：為這個球形物件的「名稱」。
    pos：為ball這個物件的座標，Vpython的預設座標如上圖所示。
    radius：為ball的半徑長度。
    Color：為ball的顏色，以color.blue設為藍色。

2. box（盒狀物件）：

mybox = box(pos=(x0,y0,z0), length=L, height=H, width=W)

  • 指令說明
    length：沿著x軸的長度。
    height：沿著y軸的長度。
    width：沿著z軸的長度。
    axis：為mybox的「軸方向」，預設為沿x方向。

3. cylinder（柱狀物件）：

rod = cylinder(pos=vector(0,2,1), axis=vector(5,0,0), radius=1)

  • 指令說明
    pos：為rod的尾端位置座標。
    axis：為rod的軸方向，axis為由尾端指向頭端的向量。如右圖所示，rod的尾端座標相對於頭端座標即是axis，故其尾端座標為(x0,y0,z0)+(L,0,0)。

4. arrow（箭形物件）：

x = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(1,0,0), color=color.green)
y = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,1,0), color=color.red)
z = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,0,1), color=color.blue)

  • 指令說明
    這裡我們值些使用箭頭來表示圖像化向量的概念，指令中描述Vpython三維立體座標的x、y、z三個方向的單位向量。

5. helix（螺線物件）：

spring = helix(pos=vector(0,2,1), axis=vector(5,0,0), radius=0.5)
  • 指令說明
    這也是一個長條形的物件，在物理中可以畫「彈簧」，基本上長條物件的指令與cylinder和arrow都差不多，僅差在一些圖形比例調整的指令。

二、Vpython 7 官方網頁

有關 Vpython 7 的所有物件指令，這裡沒有足夠的篇幅一一介紹，請同學養成習慣查詢官方網頁：http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/VisualIntro.html
有少部份指令舊版的說明較完整一點點，也可以參考看看，Vpython 6 官方網頁：http://vpython.org/contents/docs/VisualIntro.html

三、向量的概念與應用

從前面的物件指令控制，同學們應該已經發現「空間向量」的慨念被廣泛的應用在python的程式運算上。在數學上，凡是有「大小」與「方向」的東西都可以用向量來表示，特別是在幾何學中的應用甚多。而在物理學中，同時需要清楚描述「大小」與「方向」的物理量更是不勝枚舉，比如位置、位移、速度、加速度、作用力、重力場、電場、磁場…等。
以下我們以二維向量為例，簡單介紹向量在物理中的應用：

1. 位置向量

用來描述物體在空間中相對於原點的位置，即是由原點指向物體的向量。圖中紅色箭頭為沿著x和y軸的單位向量。所有的向量都可以此為基本單位合成出來。

2. 向量的加法與減法（二維向量範例）

原則上物理學中的向量概念都是3D立體的空間向量，以上為方便繪製簡圖，因此僅以平面向量為例，但同學請注意在程式中都需要寫立體的向量！

3. 位移向量

假設物體由A點運動到B點，則位移可以表示為Δr→

Δr→=r→B−r→A=(Bx−Ax,By−Ay,Bz−Az)

其中 r→B 為末位置、r→A 為初位置。

4. 速度向量

物體每單位時間的位移

v→=Δr→Δt=(vx,vy,vz)

其中 Δt 如果足夠小，即為瞬時速度。

5. 加速度向量

物體每單位時間的速度變化

a→=Δv→Δt=(ax,ay,az)

其中 Δt 如果足夠小，即為瞬時加速度。

四、while loop - 以迴圈控制物件的運動

while為一種條件式的迴圈控制，當條件式判斷為True時，就反覆執行while迴圈中的內容，一直到條件式判斷為False則中止迴圈，流程概念可參考右圖，因此我們常用迴圈來控制物件的連續運動。以下用等速度運動為例簡單示範迴圈指令：

圖片來源：https://www.tutorialspoint.com/python/python_while_loop.htm

Example 1 : while loop簡介－等速度運動












from vpython import*   #引用視覺畫套件Vpython
dt = 0.01              #每一次執行迴圈內容的時間間隔
t = 0.0                #第一次執行迴圈的初始時間
x = 0.0                #第一次執行迴圈的初始位置
v = 4.0                #物體的運動速度設為4m/s

while x < 1:           #在x<1的判斷成立時，執行迴圈的內容
    t = t + dt         #計時器，每一次迴圈增加dt的時間間隔
    x = x + v*dt       #位置，每經過一個迴圈，物體位置改變v*dt的位移

    print (t, x)       #在執行視窗印出每一刻的時間和位置

這裡我們分解步驟來看每一次迴圈發生了什麼事情：

迴圈計次 時間 t 的累加過程 位置 x 的累加過程
loop 1 t = 0 + 0.01 = 0.01 x = 0 + 4 * 0.01 = 0.04
loop 2 t = 0.01 + 0.01 = 0.02 x = 0.04 + 4 * 0.01 = 0.08
loop 3 t = 0.02 + 0.01 = 0.03 x = 0.08 + 4 * 0.01 = 0.12
loop 4 t = 0.03 + 0.01 = 0.04 x = 0.12 + 4 * 0.01 = 0.16
loop 5 t = 0.04 + 0.01 = 0.05 x = 0.16 + 4 * 0.01 = 0.20
… … …

這裡我們發現，每經過一個迴圈時間累加0.01秒，而位置的改變為0.04公尺，這即是標準的等速度運動模擬。雖然這裡只處理純量，但是在向量也是完全一模一樣的概念，現在我們可以試試將前面學到的物件插入，然後用迴圈連續改變位置向量，使其產生動態效果。範例程式如下：

Example 2 : 圖形化的等速度運動






















from vpython import*	#引用視覺畫套件Vpython

size = 0.05	#設定球的大小為0.05公尺

x = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(1,0,0), shaftwidth=0.02, color=color.green)
y = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,1,0), shaftwidth=0.02, color=color.red)
z = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,0,1), shaftwidth=0.02, color=color.blue)
#畫出3D直角座標沿x,y,z方向的單位向量

ball = sphere(radius=size, color=color.yellow, pos=vector(0,0,0), v=vector(1.0,0,0))
#畫球，球的半徑為size，顏色為黃色，位置在(0,0,0)，速度為(1,0,0)

dt = 0.001	#模擬的時間間隔
t = 0.0		#設定模擬的初始時間

while t<2:          #條件判斷t<2成立時執行迴圈內容
    rate(1/dt)      #設定迴圈的執行速度，每秒執行1/dt次
    t = t+dt        #計時器
    ball.pos = ball.pos + ball.v*dt  #球的每一時刻位置，每次迴圈改變ball.v *dt的位移

    print (t)       #在執行視窗印出每一時刻的時間
  • 「.」的用法：例如ball.pos、ball.v
    在python中「.」的用法可以把它理解為中文「的」的意思，如ball.pos就是ball的pos，即ball的座標位置，又ball.pos.x為ball的位置向量的x方向分量。但如果使用ball.v（球的速度）就得留意，因為sphere的內建指令中並沒有v，所以電腦認不出來v是什麼。因此若要使用這樣的寫法，必須在sphere插入的時候就先定義v，例如：
    sphere(radius=size, color=color.yellow, pos=vector(0,0,0), v=vector(1.0,0,0))。

五、運動學 - 位置、速度、加速度與時間的關係

在運動學中我們很常用 x−t、v−t、a−t 圖來描述物體隨著時間的運動狀態，並從中看出規律以及運動的變化和趨勢。在python中我們已經學會用迴圈模擬出每一時刻的時間和位置，現在我們將加入vpython中繪製函數圖形的指令graph來檢視物件的運動。請參考以下範例程式：

Example 3 : 圖形化的等速度運動與函數圖





























from vpython import*

size = 0.1

scene = canvas(width=600, height=400, center=vector(2.5,0,0), background=vector(0,0,0))
#設定物件視窗的顯示畫面與背景，寬為600畫素、高為400畫素
#center為畫面中心，background為背景顏色

x = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(1,0,0), shaftwidth=0.02, color=color.green)
y = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,1,0), shaftwidth=0.02, color=color.red)
z = arrow(pos=vector(0,0,0), axis=vector(0,0,1), shaftwidth=0.02, color=color.blue)
ball = sphere(radius=size, color=color.yellow, pos=vector(0,0,0), v=vector(1.0,0,0))

gd = graph(title = "x-t plot", width=600, height=400, xtitle="t", ytitle="x")
#設定函數圖的畫面
f1 = gcurve(color=color.blue)  	#設定函數圖中線條的特性，這裡只設定顏色

dt = 0.001
t = 0.0

while t<5:
    rate(1/dt)
    t = t+dt
    ball.pos = ball.pos + ball.v*dt

    f1.plot(pos=(t,ball.pos.x))	#每一個迴圈畫一個點描出線條，x軸為時間，y軸為位置

    print (t)

六、條件判斷結構

接著我們介紹極為常見的條件判斷結構（if-elif-else），指令架構圖如下：

圖片來源：https://www.codecademy.com/en/forum_questions/51684a3d4ce76309b4001b9c

上圖中的 a 和 b 稱為條件式，和前面學過得 while 裡面寫的條件式是一樣的。如上圖，這裡只要 a 是成立的就執行「do this」內容，若 a 不成立則程式往下判斷 b 是否成立，如果 b 成立了就執行「do that」內容。若 a、b 都不成立的話，程式將執行「whatever」內容。最後請記得條件判斷結構和迴圈結構都有「一層一層」的附屬概念，撰寫時請務必記得縮排！

以下我們簡單列出幾個常用的條件式算符：

operator function
< less than
<= less than or equal to
> greater than
>= greater than or equal to
== equal
!= not equal

以下我們試著使用這種結構來挑出物理模擬過程中的特定時機點。例如程式執行中我們想把 t = 2.0 秒的那瞬間抓出來，我們從 Example 3 進行示範。同學想想可以這樣寫嗎？

if t == 2.0:
    print(t)

還是應該要這樣寫：

if t+dt >= 2.0 and t < 2.0:
    print(t)

實際執行之後你會發現只有第二種成功了！

你會發現等於「==」要成立的條件判斷極其嚴苛，必須到小數點以下十幾位都要一樣，判斷才會成立。因此請同學養成習慣，用給定「範圍」的方式來寫條件判斷，才不會因為模擬過程中產生的誤差而錯過判斷點。

在 if 裡面結合兩個條件是的寫法，如 and 和 or … 等更多用法，請參閱python官網 - 3.1.7. Compound Boolean Expressions：http://anh.cs.luc.edu/handsonPythonTutorial/ifstatements.html#compound-boolean-expressions

課堂作業 1

如果你已知一球沿 x 軸作等加速度運動，加速度為 3 m/s2，初速為 −2 m/s，由座標原點出發。請利用Vpython模擬此運動：

  1. 在視窗中畫出球與 x、y、z 三個座標軸，畫出 x−t、v−t、a−t 圖，並算出球在3秒瞬間的位置。
  2. 在程式中計算此物體的運動何時發生折返，並記錄物體在該折返點的時間、位置與速度。
  • 如何挑出折返點：

  1. 什麼是折返點：直線運動的折返點一般發生在速度歸零的那瞬間，因此在這個時間點之前和之後速度的方向是相反的。

  2. 條件判斷寫法：在某時刻如果發生以下現象，代表折返點到了

    if ball.v.x > 0 and ball.v.x + ball.a.x*dt < 0:
    print (時間...)
    print (位置...)
    print (速度...)

    這個條件判斷的意思是，在某時刻沿 x 方向的速度是正的，但是加上速度變化（ball.a.x*dt）推算下一時刻的速度會變成負的。速度沿某方向由正轉負的現象，一般只有在折返的時候才會發生。

進階作業 1-1

一人自靜止開始運動，其 a−t 圖如圖所示，則 6 秒內此人離出發點最遠的距離為何？

  1. 使物體沿 +x 方向出發，畫出 t=0 至 t=6 的 x−t、v−t、a−t 圖。
  2. 請在物體達到離出發點最遠距離瞬間，在執行視窗印出時間、球位置、球速度。

執行畫面如下：

  • 加速度的設定：用 if-else 在迴圈中將 t=2 秒以前和以後切開，分別設定成不同數值。

    if t <= 2:
    ball.a = ...
else:
    ball.a = ...

進階作業 1-2

一質點以初速度 v→=3i^ m/s，自原點出發，其加速度為 a→=−i^−0.5j^ m/s2：

  1. 當它達到 x 座標的極大值時，其速度為何？位於何處？此時距出發時間多少秒？
  2. 在畫面上每隔0.4秒在畫面上留下球與描述速度與加速度的箭頭，速度請用綠色、加速度請用紅色箭頭。

執行畫面如下圖所示：

  • 提示：

  1. 折返現象：當物體位置在 x 方向產生極大值時，代表物體沿 x 方向正要發生折返現象，請沿用課堂作業1挑出「折返點」的方法處理此問題。

  2. 餘數除法 %：取出餘數，你可以在執行視窗輸入以下算式練習

    x = 10 % 3    # 輸出結果為 1
y = 87 % 10   # 輸出結果為 7
z = 12 % 8.5  # 輸出結果為 3.5
print ('x =',x, 'y =', y, 'z =', z)

  3. 利用餘數除法切出等時距的時間點：此畫面效果會非常像3D的打點計時器
    假設我們要每隔 T 秒畫一組物件，可以在迴圈中做如下設定：

    t = t + dt      #計時器
plot_t = t%T    #用餘數除法設定畫圖計時器，t累加至超過T後歸零
if plot_t + dt >= T and plot_t < T:    #用條件判斷設定畫圖時間點
    arrow(color=..., pos=..., axis=..., shaftwidth=0.05)    #畫速度箭頭
    arrow(color=..., pos=..., axis=..., shaftwidth=0.05)    #畫加速度箭頭
    sphere(color=..., pos=..., radius=...)                  #畫球

作業繳交：

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